permutasi dengan unsur yang sama

PERMUTASI DENGAN PENGULANGAN

Dalil : OBJEK YANG SAMA

            Jika kita memiliki n objek, dengan n₁ adalah banyak objek pertama yang sama, n₂ adalah banyak objek kedua yang sama, n₃ adalah banyak objek ketiga yang sama, hingga n_k adalah banyak objek ke-k yang sama; maka banyak permutasi yang dapat dibentuk ada :

 

Susunan. Dimana n = n₁+n₂+n₃+…+n_k .

Berikut pemahaman mengenai dalil diatas dijelaskan dengan Contoh 1

Contoh 1 :

Berapa permutasi yang dapat dibentuk semua huruf dari kata “SAYA” ?

Penyelesaian :

Banyak permutasi keseluruhan yang dapat dibentuk ada 4! Susunan = 24 susunan

Banyak permutasi dari huruf A yang sama ada 2! Susunan = 2 susunan

Banyak permutasi dari huruf S ada 1! = 1 susunan

Banyak permutasi dari huruf Y ada 1! = 1 sususnan

Jadi banyak permutasi yang dapat dibentuk dari kata “SAYA” ada  susunan = 12 susunan.

Ke-12 susunan itu diuraikan sebagai berikut

            SAYA             AYAS             AYSA             YAAS             SYAA             AAYS

            ASAY             YASA             SAAY             ASYA             AASY             YSAA

PENURUNAN RUMUS

Contoh 2 :

            Misalnya kita diminta untuk menentukan berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dengan menggunakan semua huruf dalam kata MATEMATIKA.

Penjelasan :

            Setiap susunan huruf yang akan dibentuk memilih 10 huruf; 3 huruf A;  2 huruf M; 2 huruf T; 1 huruf  E; 1 huruf I; 1 huruf K. Kita perlu mengisi 10 huruf tersebut.

   Ke-1             2             3            4               5              6              7             8             9            10

           

Proses untuk membentuk sebuah susunan tersebut terdiri atas 6 langkah berikut.

                        Langkah 1: Mengisi kotak untuk 3 huruf A.

                        Langkah 2: Mengisi kotak untuk 2 huruf M.

                        Langkah 3: Mengisi kotak untuk 2 huruf T.

                        Langkah 4: Mengisi kotak untuk 1 huruf E.

                        Langkah 5: Mengisi kotak untuk 1 huruf I.

                        Langkah 6: Mengisi kotak untuk 1 huruf K.

            Ada 10 kotak dan diisi oleh 3 sehingga langkah 1 dapat dikerjakan dengan C(10, 3) cara. Bersisa 7 kotak, sehingga langkah kedua dapat dikerjakan dengan C(7, 2) cara. Bersisa 5 kotak, sehingga langkah ketiga dapat dikerjakan dengan C(5, 2) cara. Bersisa 3 kotak, sehingga langkah keempat dapat dikerjakan dengan C(3, 1) cara. Bersisa 2 kotak, sehingga langkah kelima dapat dikerjakan dengan C(2, 1) cara. Bersisa 1 kotak, sehingga langkah keenam dapat dikerjakan dengan C(1, 1) cara.

            Dengan menggunakan aturan perkalian, diperoleh jumlah kemungkinan susunan huruf yang dapat dibentuk, yaitu

      

            Perhatikan dengan seksama hasilnya. Dapat dibahasakan sebagai berikut. Jika huruf – huruf dari kata MATEMATIKA semuanya berbeda yaitu berjumlah 10 maka terdapat P(10,10) = 10! Kemungkinan kata terbentuk. Ini tidak lain merupakan pembilang dari jawaban tersebut. Adapun adanya huruf yang diulang  : 3 huruf A;  2 huruf M; 2 huruf T juga terdapat butiran huruf: 1 huruf  E; 1 huruf I; 1 huruf K, ini mereduksi banyaknya kata yang terbentuk yang merupakan penyebut dari jawaban yang diperoleh. Uraian tersebut memberi gambaran mengenai rumus umum berikut.

Dengan n = n₁+n₂+n₃+…+n_k .

Contoh 3 :

Carilah banyaknya cara suatu persegi panjang berukuran 1x7 diisi oleh persegi panjang berukuran 1x1,1x2 dan 1x3

Penjelasan :

Seperti contoh sebelumnya, pertama anggap bahwa kita dapat membedakan antara 2 persegi panjang dengan ukuran yang sama. Pada gambar diperlihatkan persegi panjang berukuran 1x7 dan diisi oleh 1x2, 1x1,1x3 dan 1x1

 

Jika b_i menyatakan 1 x I persegi panjang untuk i = 1,2,3, maka susunan diatas adalah b₂b₁b₃b₁ yang merupakan permutasi dari {2∙ b₁,b₂,b₃}. Perhatikan bahwa jumlah indeks dari b adalah 1+1+2+3 = 7. dengan cara ini kita dapat menentukan susunan yang mungkin, yaitu

1. {7 ∙ b₁}
2. {5 ∙ b₁, 1 ∙ b₂}
3. {3 ∙ b₁, 2 ∙ b₂}
4. {1 ∙ b₁, 3 ∙ b₂}
5. {4 ∙ b₁, 1 ∙ b₃}
6. {1 ∙  b₁, 2 ∙ b₃}
7. {2 ∙ b₂, 1 ∙ b₃}
8. {2 ∙  b₁, b₂, 1 ∙ b₃}

Untuk setiap kasus, banyaknya permutasi adalah

1. 1
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 

Sehingga jumlah keseluruhan adalah 1+6+10+4+5+3+3+12 = 44

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN :

1.      Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat disusun dari huruf-huruf pada kata “MARIJAN”.

Jawab: pada kata “MARIJAN” terdapat 7 huruf, dengan 2 huruf diantaranya A. banyak susunan huruf yang dapat dibentuk adalah P =  

2.      Tersedia 9 bendera dengan 4 berwarna putih, 3 merah, 1 kuning, 1 biru. Jika kesembilan bendera akan di pasang berjajar, berapa banyak cara anda dapat memasang kesembilan bendera tersebut?

Jawab: masalah ini merupakan permutasi dari 9 elemen dengan 4 pertama berwarna putih, 3 elemen kedua berwarna merah, 1 elemen ketiga berwarna kuning, dan 1 elemen keempat berwarna biru. Jadi, banyaknya cara memasang kesembilan bendera tersebut adalah  = 2250 cara