Sejarah kalkulus

Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM). Pada papirus tersebut, orang Mesir telah mampu menghitung volume piramida terpancung.Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.

Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil tak terhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar.Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle".Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral.Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.

Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668.
Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnya dituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanya dilakukan secara terpisah.

Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang.

Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society.

Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions".

Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus.

Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA dan universitas zaman modern. Matematikawan seluruh dunia terus memberikan kontribusi terhadap perkembangan kalkulus.

Permutasi

Misalkan ada 3 unsur a, b, c. Kita dapat mengurutkan sebagai abc, acb, bac, bca, cab, cba. Tiap urutan disebut permutasi 3 unsur.
Dalam contoh di alas: ada 6 permutasi terdiri 3 unsur diambil ketiga-tiganya. Ditulis 3P3 = 6

Secara Umum
Banyak permutasi k unsur dari n unsur adalah :
nPk = n! / (n-k) !
Contoh:
Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.
Jawab:
Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.
Maka banyaknya cara duduk ada :
7P3 = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 cara

Permutasi Siklis
Dari n obyek dapat disusun melingkar dalam (n-1) ! cara dengan urutan berlainan.
Contoh:
Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk dengan urutan yang berlainan?
Jawab:
Banyaknya cara duduk ada (7 - 1) ! = 6 !  6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 720 cara.

3 idiots

"Dimulai dari sini, aksi-aksi konyol dimulai"

Makalah Masalah pendidikan di Indonesia

BAB I: PENDAHULUAN

1.     LATAR BELAKANG

Pada zaman ini, pendidikan tidak menjadi hal yang wajib bagi sebagian anak-anak di Indonesia. Terutama pada masyarakat bawah. Mereka lebih memilih untuk mencari uang daripada bersekolah. Hal ini yang menimbulkan berbagai masalah pada bangsa ini.

2.     RUMUSAN MASALAH

A. Apa yang menyebabkan anak-anak di Indonesia tidak bersekolah?

B. Mengapa mereka tidak memenfaatkan program belajar 9 tahun yang telah diprogramkan pemerintah?

C. Apa yang akan terjadi apabila anak-anak zaman sekarang tidak ingin bersekolah, bagi mereka dan bagi bangsa ini?

3.      TUJUAN

Untuk membantu menyelesaikan masalah pendidikan  yang ada di Indonesia, dan membantu meringankan masalah pemerintah yang sangat berat ini.

           

4.     MANFAAT

Mengubah pola pikir masyarakat bawah maupun atas dalam menanggapi masalah pendidikan yang ada di Indonesia, agar para generasi penerus bangsa dapat mendapatkan pendidikan yang layak.

BAB II: ISI

            Masalah pendidikan di Indonesia telah menjadi masalah yang sangat serius bagi bangsa ini. Hal ini dikarenakan pada zaman ini pendidikan tidak menjadi tugas utama atau hal yang wajib bagi anak-anak.

Perkonomian di Indonesia sepertinya menjadi salah satu penyebab hal tersebut. Masyarakat di Indonesia sebagian besar di dominasi oleh masyarakat bawah. Kebutuhan ekonomi keluarga yang tidak jelas membuat alasan sebagian anak-anak di Indonesia tidak mampu untuk mencicipi bangku sekolah yang semestinya menjadi hak dari anak-anak.

         

Padahal pemerintah telah memprogramkan pendidikan wajib belajar 9 tahun untuk masyarakat bawah, yaitu dengan memberikan pendidikan gratis. Tapi masih saja ada yang anak-anak yang tidak bersekolah. Mengapa? Salah satunya penyebabnya adalah keinginan anak-anak untuk ikut membantu perekonomian keluarganya. Anak-anak zaman sekarang lebih memilih untuk mencari uang daripada bersekolah. Mereka sudah tidak memiliki niat sama sekali untuk merasakan bangku sekolah dan mendapatkan pendidikan. Ada yang juga ingin bersekolah tapi tidak dapat bersekolah meskipun sekolah telah gratis, lagi-lagi dikarenakan masalah ekonomi keluarga.

         

Dan ada satu masalah lagi yang membuat program pemerintah tersebut seoerti tidak berhasil, yaitu anak yang putus sekolah di tengah jalan. Lho mengapa? Padahal anak-anak tersebut sudah bersekolah karena program pemerintah tersebut, yang mewajibkan anak-anak bersekolah 9 tahun dengan gratis, tapi mengapa mereka putus  sekolah? Selain faktor ekonomi, ternyata ada faktor lain yang menyebabkan hal tersebut terjadi, yaitu faktor sekolah. Lagi timbul pertanyaan, mengapa faktor sekolah menjadi salah satu anak-anak putus sekolah? Tentunya kita semua sering mendengar hal tersebut pada berbagia media-media kesayangan kita semua, baik media cetak ataupun media elektronik. Pada berbagai media tersebut dijelaskan bahwa banyak anak-anak yang putus sekolah karena faktor sekolah. Mereka menyebutkan bahwa pihak sekolah menyuruh anak muridnya pulang, dan tidak dapat bersekolah lagi sampai melunasi biaya sekolah(BP3).

         

Lho padahal sekolah telah digratiskan oleh pemerintah, tapi mengapa pihak sekolah masih memungut biaya? Semua sekolah menyebutkan bahwa dana yang diberikan oleh pemerintah hanya mampu untuk membeli buku saja, dan tidak untuk menggratiskan biaya sekolah(BP3). Hal ini yang menyebabkan berbagai anak putus sekolah. Tapi ada lagi faktor yang menyebabkan anak putus sekolah yaitu faktor guru. Pihak sekolah yang telah menggratiskan biaya sekolah para murid membuat berbagai murid dapat bersekolah lagi, tapi para murid masih saja ada yang tidak dapat melanjutkan sekolah. Hal ini dikarenakan, para guru yang mewajibkan anak muridnya untuk memiliki buku LKS, membuat para murid yang tidak mampu terpaksa harus ikut mengambil buku tersebut. Namun mengingat kondisi ekonomi sebagian murid yang tidak mampu, akhirnya membuat sebagian murid tidak mampu untuk membayar buku tersebut. Buku yang tidak kunjung dibayar oleh para murid membuat guru akhirnya tidak mengizinkan anak murid tersebut untuk bersekolah sebelum tunggakan buku tersebut.

         

Faktor-faktor inilah yang menyebabkan anak-anak tidak dapat bersekolah dan berakhir di jalan. Dan anak-anak tersebut seperti trauma untuk bersekolah lagi walaupun terkadang ada anak yang masih ingin bersekolah lagi. Bahkan karena faktor tersebut membuat para orang tua yang tadinya ingin menyekolahkan anaknya pada tahun ajaran baru mengurungkan niatnya karena faktor keuangan.

Para generasi penerus bangsa tersebut sepertinya akan menjadi penerus bangsa yang tidak memiliki senjata, senjata pendidikan yang semestinya dimiliki oleh generasi penerus bangsa ini untuk memajukan tanah air mereka yang tercinta.

Inilah yang menyebabkan program pemerintah seperti berjalan di tempat. Dan masalah ini semakin berkembang, dan terus berkembang. Dan dampak yang ditimbulkan tidak  lain adalah perekonomian bangsa ini akan menjadi tidak stabil. Menyebabkan menambah lagi orang miskin yang ada di Indonesia. Pendidikan menjadi hal langka bagi masyarakat bawah. Dan hal itu akan terus berputar-putar dan menjadi masalah yang sangat besar. Membuat Indonesia tidak akan menjadi Negara yang tentram dan maju.

BAB III: KESIMPULAN

          Masalah pendidikan bukan hanya menjadi masalah pemerintah saja, melainkan menjadi masalah dari seluruh elemen masyarakat bangsa Indonesia. Terutama pihak sekolah dan para guru yang juga ikut membantu masalah pendidikan generasi penerus bangsa dengan mendukung dan membantu program-program pemerintah. Masyarakat juga harus ikut membantu masalah tersebut walaupun dari hal yang sangat kecil.

          Apabila hal ini tidak mendapat dukungan dari seluruh elemen masyarakat, maka pemandangan anak-anak generasi penerus bangsa di pinggir jalan mengais-ngais rejeki demi membentu perekonomian keluarga bukan menjadi hal yang luar biasa lagi tetapi akan menjadi hal yang biasa.

DAFTAR PUSTAKA:

www.kabarpagi.com

www.liputan6.com

Koran lombok post

FUNGSI KUADRAT(Parabola)

Bentuk umum: y=ax²+bx+c

1.       MENENTUKAN PERSAMAAN GRAFIK FUNGSI KUADRAT

Ø Melalui titik balik P(x_p, y_p):

y=a(x–x_p)²+y_p

      

Contoh:

Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar adalah ....

Jawab:

Titik balik P(2,-3)

y=a(x–x_p)²+y_p

y=a(x–2)²+(-3)

melalui titik (0,5)

5=a(0–2)²+(-3)

5=a(–2)² – 3

5=a(4) – 3

5=4a – 3

5+3=4a

8=4a

a=2

Maka P.f.k:

y=a(x–2)²+(-3)

y=2(x–2)²+(-3)

y=2(x² – 4x+4) – 3

y=2x² – 8x+8 – 3

y=2x² – 8x+5

Ø Melalui 3 titik A(x_A, y_A), B(x_B, y_B), dan  C(x_C, y_C)

Contoh:

Persamaan parabola y=ax²+bx+c yang melalui titik (1,3), (2,5), (3,9) mengakibatkan nilai a, b, dan c adalah ...

Jawab:

Melalui (1,3) berarti

x=1 dan y=3 maka:

y=ax²+bx+c

3=a(1)²+b(1)+c

3=a(1´1)+b(1)+c

3=a+b+c ... (pers.1)

Melalui (2,5) berarti

x=2 dan y=5 maka:

y=ax²+bx+c

5=a(2)²+b(2)+c

5=a(2´2)+b(2)+c

5=4a+2b+c ... (pers.2)

Melalui (3,9) berarti

x=3 dan y=9 maka:

y=ax²+bx+c

9=a(3)²+b(3)+c

9=a(3´3)+b(3)+c

9=9a+3b+c ... (pers.3)

Eliminasi (pers.1)

dan (pers.2):

5=4a+2b+c

3=  a+  b+c

2=3a+  b (pers.4)

Eliminasi (pers.2)

dan (pers.3):

9=9a+3b+c

5=4a+2b+c

4=5a+  b (pers.5)

Eliminasi (pers.4)

dan (pers.5):

4=5a+b

2=3a+b

2=2a (kedua ruas:2)

1=a maka a=1

Substitusi a=1 ke:

2=3a+b

2=3(1)+b

2=3+b

2-3=b

  -1=b maka b=-1

Substitusi a=1 dan

b=-1 ke:

3=a+b+c

3=(1)+(-1)+c

3=  1  -  1   +c

3=c maka c=3

2.   Menentukan Koordinat Titik Puncak atau Titik balik Fungsi Kuadrat

Rumus: Koordinat Titik Balik: P(x_p, y_p)

     x_p= dan y_p= 

Contoh:

Diketahui fungsi kuadrat f(x) = –x² + 2x + 35. Koordinat titik puncak fungsi tersebut adalah ....

Jawab:

f(x) = –x² + 2x + 35

 

x_p====1

y_p===

y_p===36

Maka koordinat Titik Baliknya (1, 36)

Perlu Diingat!

x_p = sumbu simetri

y_p = nilai maksimum/minimum

LATIHAN

1.       Persamaan parabola y=ax²+bx+c yang melalui titik (1,4), (2,6), (3,10) mengakibatkan nilai    a, b, dan c adalah ...

Jawab:

Melalui (1,4) berarti

x=1 dan y=4 maka:

y=ax²+bx+c

4=a(1)²+b(1)+c

4=a(1´1)+b(1)+c

4=a+b+c ... (pers.1)

Melalui (2,6) berarti

x=2 dan y=6 maka:

y=ax²+bx+c

6=a(2)²+b(2)+c

6=a(2´2)+b(2)+c

6=4a+2b+c ... (pers.2)

Melalui (3,10) berarti

x=3 dan y=10 maka:

y=ax²+bx+c

10=a(3)²+b(3)+c

10=a(3´3)+b(3)+c

10=9a+3b+c ... (pers.3)

Eliminasi (pers.1)

dan (pers.2):

6=4a+2b+c

4=  a+  b+c

2=3a+  b (pers.4)

Eliminasi (pers.2)

dan (pers.3):

10=9a+3b+c

  6=4a+2b+c

  4=5a+  b (pers.5)

Eliminasi (pers.4)

dan (pers.5):

4=5a+b

2=3a+b

2=2a (kedua ruas:2)

1=a maka a=1

Substitusi a=1 ke:

2=3a+b

2=3(1)+b

2=3+b

2-3=b

  -1=b maka b=-1

Substitusi a=1 dan

b=-1 ke:

4=a+b+c

4=(1)+(-1)+c

4=  1  -  1   +c

4=c maka c=4

TES DAYA SERAP

1.       Persamaan parabola y=ax²+bx+c yang melalui titik (1,1), (2,3), (3,7) mengakibatkan nilai    a, b, dan c adalah ...

Jawab:

Melalui (1,1) berarti

x=1 dan y=1 maka:

y=ax²+bx+c

1=a(1)²+b(1)+c

1=a(1´1)+b(1)+c

1=a+b+c ... (pers.1)

Melalui (2,3) berarti

x=2 dan y=3 maka:

y=ax²+bx+c

3=a(2)²+b(2)+c

3=a(2´2)+b(2)+c

3=4a+2b+c ... (pers.2)

Melalui (3,7) berarti

x=3 dan y=7 maka:

y=ax²+bx+c

7=a(3)²+b(3)+c

7=a(3´3)+b(3)+c

7=9a+3b+c ... (pers.3)

Eliminasi (pers.1)

dan (pers.2):

3=4a+2b+c

1=  a+  b+c

2=3a+  b (pers.4)

Eliminasi (pers.2)

dan (pers.3):

7=9a+3b+c

3=4a+2b+c

4=5a+  b (pers.5)

Eliminasi (pers.4)

dan (pers.5):

4=5a+b

2=3a+b

2=2a (kedua ruas:2)

1=a maka a=1

Substitusi a=1 ke:

2=3a+b

2=3(1)+b

2=3+b

2-3=b

  -1=b maka b=-1

Substitusi a=1 dan

b=-1 ke:

1=a+b+c

1=(1)+(-1)+c

1=  1  -  1   +c

1=c maka c=1

maka a=1, b=-1, c=1

permutasi dengan unsur yang sama

PERMUTASI DENGAN PENGULANGAN

Dalil : OBJEK YANG SAMA

            Jika kita memiliki n objek, dengan n₁ adalah banyak objek pertama yang sama, n₂ adalah banyak objek kedua yang sama, n₃ adalah banyak objek ketiga yang sama, hingga n_k adalah banyak objek ke-k yang sama; maka banyak permutasi yang dapat dibentuk ada :

 

Susunan. Dimana n = n₁+n₂+n₃+…+n_k .

Berikut pemahaman mengenai dalil diatas dijelaskan dengan Contoh 1

Contoh 1 :

Berapa permutasi yang dapat dibentuk semua huruf dari kata “SAYA” ?

Penyelesaian :

Banyak permutasi keseluruhan yang dapat dibentuk ada 4! Susunan = 24 susunan

Banyak permutasi dari huruf A yang sama ada 2! Susunan = 2 susunan

Banyak permutasi dari huruf S ada 1! = 1 susunan

Banyak permutasi dari huruf Y ada 1! = 1 sususnan

Jadi banyak permutasi yang dapat dibentuk dari kata “SAYA” ada  susunan = 12 susunan.

Ke-12 susunan itu diuraikan sebagai berikut

            SAYA             AYAS             AYSA             YAAS             SYAA             AAYS

            ASAY             YASA             SAAY             ASYA             AASY             YSAA

PENURUNAN RUMUS

Contoh 2 :

            Misalnya kita diminta untuk menentukan berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dengan menggunakan semua huruf dalam kata MATEMATIKA.

Penjelasan :

            Setiap susunan huruf yang akan dibentuk memilih 10 huruf; 3 huruf A;  2 huruf M; 2 huruf T; 1 huruf  E; 1 huruf I; 1 huruf K. Kita perlu mengisi 10 huruf tersebut.

   Ke-1             2             3            4               5              6              7             8             9            10

           

Proses untuk membentuk sebuah susunan tersebut terdiri atas 6 langkah berikut.

                        Langkah 1: Mengisi kotak untuk 3 huruf A.

                        Langkah 2: Mengisi kotak untuk 2 huruf M.

                        Langkah 3: Mengisi kotak untuk 2 huruf T.

                        Langkah 4: Mengisi kotak untuk 1 huruf E.

                        Langkah 5: Mengisi kotak untuk 1 huruf I.

                        Langkah 6: Mengisi kotak untuk 1 huruf K.

            Ada 10 kotak dan diisi oleh 3 sehingga langkah 1 dapat dikerjakan dengan C(10, 3) cara. Bersisa 7 kotak, sehingga langkah kedua dapat dikerjakan dengan C(7, 2) cara. Bersisa 5 kotak, sehingga langkah ketiga dapat dikerjakan dengan C(5, 2) cara. Bersisa 3 kotak, sehingga langkah keempat dapat dikerjakan dengan C(3, 1) cara. Bersisa 2 kotak, sehingga langkah kelima dapat dikerjakan dengan C(2, 1) cara. Bersisa 1 kotak, sehingga langkah keenam dapat dikerjakan dengan C(1, 1) cara.

            Dengan menggunakan aturan perkalian, diperoleh jumlah kemungkinan susunan huruf yang dapat dibentuk, yaitu

      

            Perhatikan dengan seksama hasilnya. Dapat dibahasakan sebagai berikut. Jika huruf – huruf dari kata MATEMATIKA semuanya berbeda yaitu berjumlah 10 maka terdapat P(10,10) = 10! Kemungkinan kata terbentuk. Ini tidak lain merupakan pembilang dari jawaban tersebut. Adapun adanya huruf yang diulang  : 3 huruf A;  2 huruf M; 2 huruf T juga terdapat butiran huruf: 1 huruf  E; 1 huruf I; 1 huruf K, ini mereduksi banyaknya kata yang terbentuk yang merupakan penyebut dari jawaban yang diperoleh. Uraian tersebut memberi gambaran mengenai rumus umum berikut.

Dengan n = n₁+n₂+n₃+…+n_k .

Contoh 3 :

Carilah banyaknya cara suatu persegi panjang berukuran 1x7 diisi oleh persegi panjang berukuran 1x1,1x2 dan 1x3

Penjelasan :

Seperti contoh sebelumnya, pertama anggap bahwa kita dapat membedakan antara 2 persegi panjang dengan ukuran yang sama. Pada gambar diperlihatkan persegi panjang berukuran 1x7 dan diisi oleh 1x2, 1x1,1x3 dan 1x1

 

Jika b_i menyatakan 1 x I persegi panjang untuk i = 1,2,3, maka susunan diatas adalah b₂b₁b₃b₁ yang merupakan permutasi dari {2∙ b₁,b₂,b₃}. Perhatikan bahwa jumlah indeks dari b adalah 1+1+2+3 = 7. dengan cara ini kita dapat menentukan susunan yang mungkin, yaitu

1. {7 ∙ b₁}
2. {5 ∙ b₁, 1 ∙ b₂}
3. {3 ∙ b₁, 2 ∙ b₂}
4. {1 ∙ b₁, 3 ∙ b₂}
5. {4 ∙ b₁, 1 ∙ b₃}
6. {1 ∙  b₁, 2 ∙ b₃}
7. {2 ∙ b₂, 1 ∙ b₃}
8. {2 ∙  b₁, b₂, 1 ∙ b₃}

Untuk setiap kasus, banyaknya permutasi adalah

1. 1
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 

Sehingga jumlah keseluruhan adalah 1+6+10+4+5+3+3+12 = 44

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN :

1.      Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat disusun dari huruf-huruf pada kata “MARIJAN”.

Jawab: pada kata “MARIJAN” terdapat 7 huruf, dengan 2 huruf diantaranya A. banyak susunan huruf yang dapat dibentuk adalah P =  

2.      Tersedia 9 bendera dengan 4 berwarna putih, 3 merah, 1 kuning, 1 biru. Jika kesembilan bendera akan di pasang berjajar, berapa banyak cara anda dapat memasang kesembilan bendera tersebut?

Jawab: masalah ini merupakan permutasi dari 9 elemen dengan 4 pertama berwarna putih, 3 elemen kedua berwarna merah, 1 elemen ketiga berwarna kuning, dan 1 elemen keempat berwarna biru. Jadi, banyaknya cara memasang kesembilan bendera tersebut adalah  = 2250 cara